제 6편 – 난류 모델링 1

난류 모델링 1

난류의 거동은 나비에 스토크스 방정식의 비정상 해의 집합입니다. 유체의 거동을 예측하기 위해 적절한 난류 모델을 도입하여 문제를 단순화한 후 수치 시뮬레이션을 수행하는 방법이 필요합니다. 그래서 난류 모델에 접근하기 위해서는 난류 모델에서 변수들의 의미를 파악해야 합니다. 또한 난류의 유동 특성들을 수식적으로 어떻게 표현할 수 있는지 설명 드리겠습니다.

 

1) 길이 척도 (Length scale)

난류와 같은 복잡한 시스템에서 매개변수의 크기를 결정하는데 척도(Scale)는 유용합니다. 난류의 가장 큰 소용돌이의 크기는 길이 척도 L로 정의하며, 작은 소용돌이 크기는 η로 정의하며 다음과 같은 형태로 표현됩니다.

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6장_fig2

2) 시간 척도 (Time Scale)

큰 에디는 대부분 난류에너지를 갖고 있어 난류에너지와 에너지 소산율에 의해 결정됩니다. 반면 작은 에디는 난류에너지를 많이 갖고 있지 않아 점성에 의한 영향이 크므로 점성과 에너지 소산율에 의해 결정됩니다. 큰 에디에 대한 시간 척도는 T로 정의하며 에디가 난류 에너지를 모두 소멸되는데 걸리는 시간을 나타낸다. 작은 에디에 대한 시간 척도는 Tη로 정의합니다.

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여기서 큰 에디와 작은 에디에 대한 시간 척도를 비교하면 레이놀즈 수와 관계를 확인할 수 있습니다.

6장_fig5

난류 레이놀즈 수와 시간척도의 비를 비교하여 알 수 있듯이 레이놀즈 수가 클수록 큰 에디의 영향이 더 크다는 것을 알 수 있습니다.

 

3) 난류 모델 변수

이러한 크기를 정의하기 위해서는 난류 운동 에너지(turbulence kinetic energy)와 난류 에너지소산율(turbulence dissipation rate)에 의해 결정됩니다. 난류 에너지(k)는 난류 유속의 변동량인 섭동의 형태로 다음과 같이 표현됩니다.

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난류 에너지 소산율(ε)은 큰 eddy가 작은 eddy로 에너지를 전달하는 과정에서의 시간 변화율을 의미하며 큰 eddy 운동에너지의 공급율과 같은 의미로 생각하면 됩니다. 난류 에너지 소산율은 다음과 같은 형태로 표현됩니다.

 

6장_fig7

난류 비소산율(ω)은 난류 에너지 소산율에서 난류 에너지를 나눈 값으로 다음과 같이 표현됩니다. 이는 난류의 평균 주파수를 의미합니다.

 

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다음 시간에는 난류 모델인 RANS, LES, DNS에 대해서 설명 드리도록 하겠습니다.

감사합니다.

 

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