난류 모델 1
난류의 거동은 나비에 스토크스 방정식의 비정상 해의 집합입니다. 유체의 거동을 예측하기 위해 적절한 난류 모델을 도입하여 문제를 단순화한 후 수치 시뮬레이션을 수행하는 방법이 필요합니다. 그래서 난류 모델에 접근하기 위해서는 난류 모델에서 변수들의 의미를 파악해야 합니다. 또한 난류의 유동 특성들을 수식적으로 어떻게 표현할 수 있는지 설명 드리겠습니다.
1) 길이 척도 (Length scale)
난류와 같은 복잡한 시스템에서 매개변수의 크기를 결정하는데 척도(Scale)는 유용합니다. 난류의 가장 큰 소용돌이의 크기는 길이 척도 L로 정의하며, 작은 소용돌이 크기는 η로 정의하며 다음과 같은 형태로 표현됩니다.
2) 시간 척도 (Time Scale)
큰 에디는 대부분 난류에너지를 갖고 있어 난류에너지와 에너지 소산율에 의해 결정됩니다. 반면 작은 에디는 난류에너지를 많이 갖고 있지 않아 점성에 의한 영향이 크므로 점성과 에너지 소산율에 의해 결정됩니다. 큰 에디에 대한 시간 척도는 T로 정의하며 에디가 난류 에너지를 모두 소멸되는데 걸리는 시간을 나타낸다. 작은 에디에 대한 시간 척도는 Tη로 정의합니다.
여기서 큰 에디와 작은 에디에 대한 시간 척도를 비교하면 레이놀즈 수와 관계를 확인할 수 있습니다.
난류 레이놀즈 수와 시간척도의 비를 비교하여 알 수 있듯이 레이놀즈 수가 클수록 큰 에디의 영향이 더 크다는 것을 알 수 있습니다.
3) 난류 모델 변수
이러한 크기를 정의하기 위해서는 난류 운동 에너지(turbulence kinetic energy)와 난류 에너지소산율(turbulence dissipation rate)에 의해 결정됩니다. 난류 에너지(k)는 난류 유속의 변동량인 섭동의 형태로 다음과 같이 표현됩니다.
난류 에너지 소산율(ε)은 큰 eddy가 작은 eddy로 에너지를 전달하는 과정에서의 시간 변화율을 의미하며 큰 eddy 운동에너지의 공급율과 같은 의미로 생각하면 됩니다. 난류 에너지 소산율은 다음과 같은 형태로 표현됩니다.
난류 비소산율(ω)은 난류 에너지 소산율에서 난류 에너지를 나눈 값으로 다음과 같이 표현됩니다. 이는 난류의 평균 주파수를 의미합니다.
다음 시간에는 난류 모델인 RANS, LES, DNS에 대해서 설명 드리도록 하겠습니다.
감사합니다.